从傅里叶级数到傅里叶变换

对于傅里叶变换，其中的一些概念很容易让人模糊不清，比如，周期函数和非周期函数的傅里叶转换有什么不同，

这四个核函数更是让人头痛不已，到底什么时候要负号，什么时候不要负号，什么时候有n,什么时候没有n。这篇文章就讨论一下这个问题。

我们先把这个证明的思路搞清楚：首先

也就是说，这里证明的是周期函数的傅里叶级数展开；然后我们再看一下这个证明的思路： 它首先是假设任何一个周期函数都可以展开为正弦函数之和，然后再求出各个正弦函数的系数，系数求出的过程也很简单，就是以正弦函数的周期

进行方程左右两边的积分，最后得出傅里叶级数的系数表达式。注意，是傅里叶级数，不是傅里叶变换。然后，上述结果可以写成：

接着，是利用欧拉公式将这个表达式转变成指数形式：

最后，f(t)可以合并写成：

上述转变过程很容易看懂，看懂以后，我们只要注意到：第一个表达式就是周期函数f(t)的指数傅里叶级数形式，其核函数里面有n,没有负号，这个表达式表示的是周期函数f(t)从时域到频域的级数展开过程；第二个表达式表示的是函数f(t)展开为傅里叶级数时的系数的求法，其核函数里面有n,也有负号。 接下来，就需要把周期函数转变成非周期函数，再求其傅里叶变换。这个转变过程更简单，就是假设

然后定义非周期函数的傅里叶变换

上述是定义，不用什么证明，我们注意到，这个时候核函数里面没有n,有负号，这是时域到频域的正向变换过程。那么对于非周期函数f(t),就有

这个时候核函数里面没有n,没有负号，这是频域到时域的逆向变换过程。 最后，我们把周期和非周期函数的傅里叶过程放在一起，总结一下：

从上面的分析可以总结如下：

1:周期函数对应于傅里叶级数，非周期函数对应傅里叶变换，两者之间的转化在于周期T是否是无穷大。

2：傅里叶级数中，核函数里面都有n;而傅里叶变换里面都没有；

3：无论傅里叶级数还是傅里叶变换，函数展开时（f(t)在方程左边），核函数都是正的;否则都是负的。