傅里叶、拉普拉斯、Z 变换的联系是什么?为什么要进行这些变换?

如下图，表示若干次谐波合成了一个畸变的波形。

图1中的畸变波形难以用数学公式表示出来，因此就难以对这样的波形进行分析研究，为了解决这个问题，傅里叶通过研究发现，这样的波形可以分解为不同频率正弦波的组合：

而正弦波是一种理论上非常成熟的波形。这样分解以后，便可以对图1中的畸变波形进行充分的研究和分析。这就是我们常说的把时域信号变换到频域的方法。

如果f(t)是周期信号，则其可以用傅里叶级数指数形式表示为：

然后得到傅里叶变换对：

也就是说，傅里叶变换适用于非周期任意函数。

信号的傅里叶变换为：

但傅里叶变换存在一个条件：

这个条件意味着可以进行傅里叶变换的函数不能在所有的时间域内都存在非0值，也就是函数f(t)必须在有限时间内衰减到0值，所以

也就是说，f(t)乘以衰减因子后，就会在有限时间内衰减至0，从而可以进行傅里叶变换，因此，拉普拉斯变换就是迫使函数满足绝对可积条件的傅里叶变换。

傅里叶变换和拉普拉斯变换都只能处理连续时间域的信号，我们知道，计算机只能存储离散信号：

F(z)就是z变换，也就是把离散信号从时域变换到频域。

总结：

1：傅里叶变换是为了解决任意信号难以进行分析的矛盾而产生的。

2：拉普拉斯变换是迫使函数满足绝对可积条件的傅里叶变换。

3：Z变换是把离散时域信号变换到频域的方法。