在傅里叶级数和傅里叶变换计算过程中，出现无穷多项求和的环节，因此不适用于数值计算，那么有没有一种方法，能够避免无穷多项求和的环节呢？

有！

那就是离散傅里叶变换DFT！

本篇文章将向大家介绍频谱分析的数值方法：离散傅里叶变换

首先介绍一下预备知识：构造周期函数求频谱特性

接下来将为各位读者详细推导离散傅里叶变换的计算方法！

最终将举一个栗子，准确把握DFT的计算

0 预备知识 构造周期函数求频谱特性

由之前对傅里叶级数、傅里叶积分的推导和物理意义的阐述可知（具体可以参考我之前的文章：频谱分析——频谱概念（傅里叶变换、级数、积分及物理意义） 傅里叶级数物理意义的直观理解：利用傅里叶级数逼近方波信号 ）：非周期信号是由幅值为无穷小的谐波所组成。在其表达式中，能够发现一个奇妙的关系，非周期信号的频谱特性还可以从的曲线中求得。首先为大家介绍如何用这种方法求傅里叶变换。

例如一个非周期信号仅在之间有非零值，其傅里叶变换可以写为：

而周期函数的傅里叶系数为

由（1）和（2）可得

(3)说明可以根据$f(t)$先构造一个周期函数，对这个构造的周期函数进行谐波分析，求出各次谐波的，再根据（3）就可以得到对应频率的，再用光滑的曲线连接就得到了该函数的频率特性。式（3）是频谱分析中求傅里叶变换数值方法的一个基本关系式。

傅里叶变换的表达式如下所示，傅里叶变换使得我们可以从频谱的角度来分析信号。

不过要具体应用时就必须解决计算问题，如此的表达式对于计算机运算非常不友好，因此，需要寻找一种方法，解决傅里叶变换数值计算的问题。

现在一般均用数值计算方法，包括离散傅里叶变换（DFT）和快速傅里叶变换（FFT）。

1 离散傅里叶变换（Discrete Fourier Transform，DFT）

DFT的计算原理就是第0章预备知识中所述的先将信号进行周期延拓，然后分析周期信号谐波的方法。下面将进行离散傅里叶变换的详细推导，着急的同学也可以先看结论哦！

根据信号求出频谱特性。

首先将进行周期延拓得到周期信号,对展开成傅里叶系数，得到各次谐波的系数为

利用函数，根据可以直接写出周期函数$f_p(t)$的频谱特性为

将（1.1）带入可得

（1.1）可以写成

即是连续的与脉冲序列相乘，可以理解为对在频域上进行采样。

对（1.3）中的周期脉冲函数，也可以展开为傅里叶级数

再带回式（1.3），可得

式(1.5)右项是变换式与指数项相乘后求和,因此可利用傅里叶变换的时域位移定理，写得此所对应的时间函数为

式（1.6）说明，在频率上进行采样，对应傅里叶反变换得到的就是周期函数。

现在直接对式（1.2）进行傅里叶反变换，其反变换的结果为

综合式（1.6）和（1.7），$f_p(t)$就有两种表示方法：

式(1.8)的意义在于，$f_p(t)$是$f(t)$的周期延拓,同时也表示这个周期函数是由各次谐波组成。式(1.8)归纳了前面根据周期延拓来求频谱的数学关系。

当t取离散值时，式（1.8）可写成

此时，计算傅里叶变换仍然是对无穷项求和，问题仍然没得到解决。

上面是根据频域采样而得出的关系式,现在再来考虑问题的另一方面,即时域采样。根据采样系统理论,对时间函数采样,即脉冲调制﹐得

其傅里叶级数可以表示为

根据频域位移定理，的变换式为

该式表明，在时域上采样，对应的频谱也是周期函数

而对（1.10）直接进行傅里叶变换得到

两种结果写在一起有

离散形式为

为便于书写，今后用 表示，上式改写为：

式(1.14)是根据时域采样而求得的关系式，但是依然需要对无穷项求和。

下面想办法将其转为有限项求和，对（1.9）和（1.15），睁大眼睛注意看，关键的地方来咯！

在（1.9）中，用代替k，则其和将变换成下列的双重和：

将（1.15）的第二个等式带入到上面第二个求和式，可得

将（1.15）的第一个等式带入到式（1.9）第二个求和式，可得

这样,经过整理,周期延拓的和采样信号的离散频谱都可用有限项的求和来表示了。省略角标后就得到了离散傅里叶变换（DFT）和离散傅里叶反变换（IDFT）的表达式了。

特别提醒，不要误认为F(k)就是所求的信号频谱！

2 举个栗子

求下面这个余弦函数的频谱

取数据长度为2s，用的序列f(n)当n<N/2时与原始的正时域数据相符,而当N/2≤n≤(N一1)时应该与负时域一致。因此,当N=8时,此f(n)的序列为{2，1，0，0，0，0，0，1}，带入DFT的表达式计算后后，再将正频域和负频域频谱对应，可得出频谱如下图所示。

其中，实线为离散傅里叶变换得到的频谱，虚线为实际频谱，当采样个数N越大时时，所求频谱越接近于虚线频谱。

参考文献：

[1]王广雄. 控制系统设计 [M].北京：清华大学出版社, 2008.

接下来的推送将为大家详细推导理解快速傅里叶变换（FFT）

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