让傅里叶给你讲讲拉普拉斯变换「附拉氏变换终值定理和常用性质」

本篇文章将通过傅里叶变换引出拉普拉斯变换(Laplace Transform)，并给出拉普拉斯变换的常用性质与定理。(由于昨晚发的有笔误，重新发了，请大家见谅[打脸])

首先先摆出（单边）拉普拉斯变换的官方定义：

其中s是复数频率参数

和为实数，F(s)称为函数f(t)的拉普拉斯变换。

接下来再给出傅里叶变换的官方定义：

称为函数的傅里叶变换。

即说明了一个满足狄利克雷(Dirichlet)条件的非周期函数若是绝对可积的，就可以展开成傅里叶积分，傅里叶积分就是在频域上对信号进行分解，分解为一系列的窄脉冲，傅里叶积分的实质就是将信号看作是由无穷多个谐波所组成，也可以说成是将函数$f(t)$分解到频率不同、幅值恒为1的单位圆上。（没看明白傅里叶变换物理意义的同学可以参考一下我之前的文章：频谱分析——频谱概念（傅里叶变换、级数、积分及物理意义） ，傅里叶级数物理意义的直观理解：利用傅里叶级数逼近方波信号， 离散傅里叶变换（DFT）的详细推导与举例 ）

傅里叶变换是沟通时域和频域的桥梁，傅里叶变换的问世给人们提供了通往频域世界的大门，但是，傅里叶变换有一个硬条件，即只有满足狄利克雷条件的信号才能用傅里叶变换，然而很多的函数都不是绝对可积的，比如，这就使得不少工程师力不从心[流泪]。

为解决这一问题，机智的数学家们这样想：你不是不满足绝对可积吗，那我就给你乘上一个具有快速衰减性质的函数，让这个帮你满足绝对可积的要求[机智]。

怎么样，厉害吧，OK，思路理清楚了，再把上面的大白话翻译成数学语言说一遍：

给一个非绝对可积的函数f(t)乘一个具有快速衰减性质的函数帮你满足绝对可积的要求：

那么这个函数的傅里叶变换就变为

此时令

就得到了拉普拉斯变换的官方定义：

因此可以认为，与傅里叶变换的区别在于，拉普拉斯变换是将函数分解到频率幅值都在变化的圆上。因为拉普拉斯变换有两个变量，因此适用范围更广。

接下来为方便运用，先不加证明地给出自动控制中拉普拉斯变换的性质与定理（转自wiki百科）

性质：

初值定理(Initial value theorem)：

终值定理(Final value theorem)：

但是这里要注意终值定理取的是s→0的极限，因而s=0的点应该在sF(s)的收敛域内，否则是无法应用终值定理的。

在自动控制原理中，我们尤为关注一个响应的终态，利用终值定理就可以直接求得的终态稳定值，意义在于简化了繁琐的求解过程。

例如，求解一个一阶惯性环节的阶跃响应：

若使用普通的拉普拉斯变换，计算步骤为先求C(s)的拉普拉斯反变化，再求极限：

而使用终值定理就非常简便，只需要一步：

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