傅里叶变换

周期信号傅里叶级数表示

描述周期信号最简单的周期函数就是我们所说的谐波函数，例如一个余弦信号：

令：

固一个带初始相位的余弦信号可以看成一个不带相位信息的正弦信号和一个不带相位信息的余弦信号构成。

在现实中，周期信号要比正弦信号复杂的多，但是这些复杂函数在一定程度上都可以分解成一系列不同频率正弦和余弦信号叠加而得。

考虑一个周期为2T的周期信号那么根据傅里叶级数展开为：

• 现在我们考虑一个离散时间信号{x1,x2…xN-1}，那么利用上面周期信号的傅里叶级数，离散时间信号可以表示为：

所以离散信号的第k项仍然可以表示为一个正弦信号和一个余弦信号的和，且其频率为：

k=0时，a0为信号频谱中的直流分量；

k=1时，该基波周期最大，频率最低且频率等于原离散序列的周期，也就是Fourier谐波分析中能够检测的最小频率，且该最小频率由原序列的周期即采样长度决定；

k最大值是N/2，那么此时谐波周期最小，频率最大为：1/2fs;

考虑一个方波，周期1s，频率1Hz，那么通过Fourier分析，查看其频谱分布，具体如下图所示,（方波奇函数，故傅里叶分析中只有系数bk存在，且当k等于偶数时，bk也等于0）：

反之通过各谐波分量也能够恢复出原信号，在不同次谐波下恢复出的信号与原信号关系如下图所示：

可以看出通过Fourier可以分析原信号中各个频率分量的构成。

非周期信号傅里叶变换

连续信号

通过上面分析我们得知，任何一个周期信号都可以表示成一组成谐波关系的正余弦信号表示，根据欧拉公式，指数信号能够分解成正弦与余弦信号表示，故x(t)可以重新表示为：

若信号x(t)是一个实信号，则有：

通过上面我们能够得到傅里叶级数的另外一种表示方法，即复指数表示法。

将上式两边同乘以e-jnwot，那么得到：

将上式从0->T积分

带入上式得到：

我们首先考虑一个周期信号即，在一个周期内：

那么有周期信号傅里叶级数指数表示可以得到：

可以看出这些系数都是sinc信号的等间隔采样，采样间隔是2pi/T，随周期的增加而减小。

周期信号的傅里叶级数可以重新表示成：

随着T的增加，w不断减小，当T趋于无穷时，那么ak就可以看成趋近于这个包络函数。

现在考虑一个信号x(t),它具有有限的持续周期，从这个非周期信号出发，我们就能构造出一个周期信号，使得x(t)是这个周期信号的一个周期，在这种情况下我们就能够用上面的结论得到这个连续非周期信号的傅里叶变换表示如下：

离散信号

傅里叶级数表示

对于离散信号而言，离散周期信号的傅里叶级数可以表示为：

同样对于周期方波信号x[n]，其可以表示为：

可以得到：

不同N1和N的取值下，得到的ak结果如下图所示：

考虑一个离散序列x[n],它具有有限的持续时间，也就是说，对于某个整数N1和N2，在[-N1，N2]范围以外x[n]=0,那么同连续信号一样，我们可以构成一个周期序列x'[n]，使得x[n]是x'[n]的一个周期，那么当该序列周期N趋于无穷大时，有x'[n]=x[n]。

故对该周期无限大的序列，利用离散信号傅里叶级数得到：

定义如下函数：

那么可以得到：

通过ak能够得到序列x[n]为：

当N趋于无穷大后，w0不断减小，那么上式的累加就能够变成积分，同时因为这个求和是在N个宽度为2pi/N的间隔内完成的，所以总的积分区间总是一个2pi的宽度，故可以得到离散时间信号傅里叶变换如下:

考虑同样的矩形脉冲序列，得到其傅里叶变换如下图所示：

可以看出这个和连续方波信号傅里叶变换的区别是离散信号傅里叶变换是周期的，且周期是2pi，而连续方波傅里叶变换是非周期的。

时域的周期------>频域离散

时域非周期------>频域连续

时域的离散------>频域周期

时域的连续------>频域非周期