不同傅里叶变换的频谱周期性分析及记忆方法

1、周期连续时间与非周期离散频率

当连续时间信号为周期信号时，其傅氏变换具有离散性，表示为傅里叶级数的形式。

这里的X(f)表示

的傅里叶变换，即x(t)展开为傅里叶级数以后的傅里叶变换，由于其表达式中存在冲击序列，所以X(f)是离散的，而冲击序列的出现是由于函数x(t)的周期性而导致的。从频谱Xk可以看出，这个频谱函数也是非周期的，因为其表达式的右边存在

这样的因子，而其中指数中的t是一个连续变量，所以 Xk不会等于X(k+2pi) 。所以

连续函数的周期性导致其频谱的离散性；同时其时域的连续性，导致其频域的非周期性。

2、非周期连续时间与非周期连续频率

非周期连续时间函数就是傅里叶变换。由于傅里叶的正变换和逆变换中分别存在dt和dw因子，因此分别说明了x(t)和x(f)两个函数在时域的连续性和频域的连续性。所以

连续函数的非周期性导致其频谱的连续性；同时其时域的连续性，导致其频域的非周期性。

3. 非周期离散时间与周期连续频率

非周期的离散时间信号时，其傅氏变换为连续的周期函数。

由上图可以看到，信号的离散性导致其频域的周期性，同时由频谱中的X1(f)=F[x(t)]可以看出其频谱的连续性。

上图中频域的周期性是由于

其指数中不存在连续的时间变量 t 等。

所以

时域信号的离散性导致其频谱的周期性，时域信号的非周期性导致其频谱的连续性。

4. 周期离散时间函数与周期离散频率

周期性的离散时间信号，其傅氏变换为离散的周期函数。

上图表示时域的离散导致频域的周期。

上图表示时域的周期导致频域的离散。

可见：

时域信号的连续性导致其频谱的非周期性，连续信号的非周期性导致其频谱的连续性。

时域信号的离散性导致其频谱的周期性，离散和连续的时域信号的周期性导致其频谱的离散性。