傅里叶变换的相位来源

我们都知道，傅里叶级数可以把一个满足某些条件的函数展开为三角级数，对于

这样的三角函数系来说，它们有如下性质：

正是由于三角函数系存在这样的正交性，函数y就可以展开为：

由上图可见，展开后的相位信息进入了系数an,bn：

有以上分析可见，三角级数中的相位通过相同频率的正弦函数和余弦函数之间振幅的不同而产生。我们可以思考一个这样的问题，如果展开后的级数只有正弦或者余弦函数，会产生相位信息吗？比如：a1cosnw+a2cosmw。

两种三角形式系数的关系为：

由上图可以看到，系数an,bn之间的关系就包含了相位信息，不同频率的谐波其相位信息是不一样的，可以对某个信号展开后观察这种相位变化的规律，从而得出某些有用的结论。

再变为指数形式：

由欧拉公式

可以看出，指数形式的傅里叶级数中同样包含了相位信息。

相位信息也可以应用在图像处理中：图像的频率域包含了模和相位信息，模包含图像整体的灰度级信息，而相位信息包含了图像变换的信息。不同图像，模有可能是相同的，但是相位却是不同的，利用这一点，求取相位的相关，就可以知道图像的差别。

简单总结：

1：由于三角级数间存在正交关系，这种关系允许函数展开为三角级数。

2：傅里叶级数中的相位来源于正弦函数和余弦函数间存在的振幅差关系。

3：傅里叶级数的相位有很多应用。