目标

本小节将寻求以下问题的答案：

• 什么是傅立叶变换，为什么要使用傅立叶变换？
• 如何在OpenCV中使用傅立叶变换？
• copyMakeBorder() , merge() , dft() , getOptimalDFTSize() , log() 和 normalize() 等函数的使用方法。

源代码
C ++ Java Python

可以在这里下载源代码库,或者到samples/cpp/tutorial_code/core/discrete_fourier_transform/discrete_fourier_transform.cpp目录下查看OpenCV的源代码库。

下面是DFT（）的应用示例程序：

代码详解
C ++ Java Python

傅立叶变换将图像分解成正弦和余弦分量。也就是说，它将图像从空间域变换到频率域，其主要思想为：任何函数均可以用无限多个正弦和余弦函数之和来近似。傅立叶变换正是这一想法的实现。从数学的角度来看，二维图像的傅里叶变换如下：

这里，f是图像在空间域的像素值， F是图像在频率域的像素值，转换后的结果为复数。可以通过显示复数的实部和虚部来显示傅里叶变换的结果，也可以通过幅度和相位来显示傅里叶变换的结果。然而，图像处理算法仅关注图像的幅度，因为幅度信息中包含了图像几何结构中的所有信息。不过，如果需要对图像做一些修改的话，需要对它进行傅里叶变换逆变换，并需要分别保留频率域和空间域中的两种数值。

在此示例中，将介绍如何计算和显示图像经过傅立叶变换后的幅值。数字图像的傅里叶变换是离散的傅里叶变换，这意味着，给定域的像素值是离散的。例如，灰度图像的像素值通常在0到255之间，傅立叶变换的结果也是离散型的。可以根据图像的几何视角来确定图像的结构。下面是离散型的傅里叶变换（DFT ）的实现步骤（输入图像为灰度图像I）：

将图像展开到最佳尺寸

DFT的性能取决于图像的大小，当图像的尺寸为2，3，5 的倍数时，离散傅里叶变换（DFT ）的速度最快。因此，为获得最优的性能，往往将图像的边界值调整到适合的大小，利用getOptimalDFTSize（）函数将图像展开到最佳尺寸，使用copyMakeBorder（）函数扩展的图像（将增加的像素值初始化为零）的边界：

为复数的实步和虚部开辟存储空间

傅立叶变换的结果是复数，这意味着，每个图像的像素值对应的结果是两个像素值（实部和虚部各一个分量）。此外，频率域范围比其对应的空间域范围要大得多，所以至少要用浮点（float format）的格式来存储傅里叶变换的结果。为此，需要将输入的图像数据类型转换成浮点类型，并扩展出另一个通道来保存复数值：

离散傅立叶变换

做如下计算（输入相同的输入）：

将复数的实部和虚部转换成幅度值

复数包含实部(Re)和虚部( Im) 两部分。DFT的结果为复数，这个复数的幅度为：

转换成OpenCV的代码如下：

切换到对数刻度

由于傅里叶系数的动态范围过大，无法在屏幕上显示，为了便于观察，利用对数变换将这些较大的系数值变小。经过对数变换之后，较高的数值会变成白点，而较小的数值变为黑点。为了将灰度值可视化，将线性刻度变换成对数刻度：

转换成OpenCV代码如下：

剪裁和重排

在上述第一步中，对图像的尺寸进行了扩展，在这里需要抛弃由于图像扩展而新引进的像素值。为了方便可视化，对结果值得象限重新排列，使得原点（零，零）对应图像中心。

归一化

归一化的目的也是为了便于可视化。经过运算之后，获得了幅度值，这一幅度值仍然超出了图像的显示范围（从零到一），为此，利用cv::normalize()函数对幅度值归一化，以确保像素值在零到一的范围之内。

结果

应用傅里叶变换的主要目的是要确定图像的几何方向。例如，可以看出文本是水平还是垂直的？对于某些文字来说，文本行的排序形式是水平线，而字母则形成某种垂直线。通过傅里叶变换，可以看出文本的两个主要部件的不同片段。下面，从 水平和旋转两个维度看文本图像。

水平文本图像：

旋转本图像：

从上图中可以看出，在频域中影响最大的分量（幅度图像上最亮的点）会随着图像的几何位置旋转，可以根据这一点计算出偏移量，通过旋转图像来对位置进行纠正。