连续与离散时间域各种傅里叶变换的联系与区别

对于傅里叶级数，先看看它的来历：

也就是将一个复杂函数分解为简单函数：余弦波。其指数形式如下：

傅里叶级数是在周期函数的基础上推导出来的。

然后假设这个周期为无穷大，就得出了傅里叶变换FT：

我们注意到，图1和图2中分别存在dt和dw的微分因子，说明

在傅里叶变换的概念里面，时间和频率都是连续的。

再由傅里叶变换引出拉普拉斯变换：

上述傅里叶变换和拉普拉斯变换都是在连续时间域进行分析得到的，如果进入离散时间域：

上图中的k，代表的是第几个离散函数点的意思。令T=1，得到

这里的序列傅里叶变换也就是

而上图公式也就是离散时间傅里叶变换DTFT：

上图中的DTFT表达式也可以由图1中的傅里叶变换表达式直接得出，只要令

这个表达式中的 t 变成 n 就可以了。t 代表的是连续的时间段，而 n 代表的是离散的时间点，因此，DTFT相对于FT来说，只要简单地把时间离散化就可以了。

我们还注意到，图4与图5相比，仅仅是时间被离散化了，频率w并没有，因此，DTFT的频率w还是连续的，也就是说，DTFT的频谱是连续的。

同时，我们还可以得出DTFT和z变换的关系：

z变换的单位圆就是：

既然DTFT与FT相比，只是时间被离散化了，那么，是否可以进一步对频率w也进行离散化呢？答案是可以的，这就是DFS：

这里对频率w进行离散的方法就是以

为间隔，而

就相当于频率w，另外

表示的是复平面单位圆上等间隔的采样点。

上面DFS的推导是以周期序列为基础的，那么，对于非周期序列来说，可不可以进行傅里叶变换呢？当然可以，这就是DFT：

可以看出，DFT与图6的DFS相比，并没有什么不同，这是因为DFT中的序列虽然是非周期有限长序列，但只要对这个序列进行周期拓展，就可以认为拓展以后的序列就是DFS中的周期序列。

频率离散化的意义可以图示如下：

进一步的区别：

从上图可以看出，DTFT的频谱是连续的，DFS（DFT）的频谱是离散的，也是从DTFT的频谱等间隔取样得到的。

几种变换相互转换的方法：

上图表明，由于DTFT是相对于无穷序列的，所以必须截断才能实际应用；DTFT和DFT中的时域非周期信号都可以周期延拓为DFS中的周期序列，等等。

进一步与z变换的联系如下图：

三者理论上的联系：

一个信号实际的DTFT与DFT：

简单总结：

1：连续周期函数的分解导出了傅里叶级数，非周期函数的分解导出了傅里叶变换。

2：为了解决傅里叶变换中的函数收敛问题，得出了拉普拉斯变换。

3：为了对离散时间序列进行分解，得出了Z变换。

4：对傅里叶变换中的时间 t 进行离散化以后，得到了离散时间傅里叶变换DTFT。

5：在DTFT的基础上，进一步进行频率的离散化，就得出了DFS和DFT。

6：单位圆上的Z变换就是DTFT。

7：对连续的DTFT频谱进行等间隔采样，就得到DFT频谱。