连续与离散信号的傅里叶级数和傅里叶变换比较

首先，傅里叶级数是从周期函数推导出来的：

可以看出其频谱Fn由于其结果函数的任意性，一般不具有周期性。

其频谱是离散谱：

傅里叶变换是对于非周期函数而言，也就是周期T趋于无穷大：

由于其谱线间隔无穷小，因此其频谱是连续的：

由上面的频谱函数可以看出，其频谱不具有周期性。

周期信号f(t)也可看作一时限非周期信号f0(t)的周期拓展。即

其频谱是一个冲击序列，因此也是离散的：

可以看出，由于其频谱中的冲击强度随n的变化而一直变化，因此其频谱一般不具有周期性。

对于周期序列的离散傅里叶级数(DFS)：

可以看出，由于 f 离散周期取值，其频谱Cn一般具有周期性质。

对于非周期序列的离散时间傅里叶变换(DTFT)：

对于周期序列的离散傅里叶变换(DFT)：

其中

四种傅里叶变换的特点和关系：

至于周期函数的傅里叶变换，其时域肯定是连续、周期的，其频域则是离散、非周期的；DFT则可以认为与DFS相同。

简单总结：

1：连续傅里叶级数FS由周期函数得出，对应于离散周期序列的离散傅里叶级数DFS;

2:傅里叶变换FT由非周期函数得出，对应于非周期离散序列的DTFT；

3：周期函数的傅里叶变换对应于周期序列的离散傅里叶变换DFT；

4：周期序列的离散傅里叶变换DFT与离散周期序列的离散傅里叶级数DFS可以认为完全相同。