方差分析:F检验

方差分析主要是利用F检验来评估三组或更多组数据的均值情况。这篇文章主要聚焦以下问题：

① F统计量

② F值

③ F分布

④ F检验

⑥ 为何用方差分析来检验均值

在「六西格玛管理统计指南-Minitab使用指南」中，有这样一道例题：

考察温度对烧碱产品得率的影响，选了4种不同的温度进行试验，在同一温度下进行了5次试验。希望在显著性水平a=0.05下，判断温度对烧碱产品得率是否有显著影响。

图 1

在Minitab中，使用方差分析可以得到：

从上图可以看出：P=0.002＜0.05，说明温度对烧碱产品得率有显著性影响。如何理解上图呢？往下看。

01 F统计量

F统计量，是一个比值，是没有量纲的。该统计量是以Ronal Fisher的名字来命名的。

以单因素方差分析为例，F统计量的公式为：

① 组间波动

衡量数据波动的统计量，常用的有3个：方差、标准差和极差。在方差分析中，当然是采用「方差」作为衡量波动的统计量。

方差的计算公式中，包含了两部分，一部分是「离差平方和，蓝色」和「自由度，绿色」

图1中，根据温度的不同，分了4个组：60度、65度、70度和75度。各组数据的平均值是：90.2、93.2、95、90.2，这些平均值都是围绕在总平均「92.15」的周围。

所谓「组间波动」，就是看各组数据的平均值围绕总平均的波动程度。根据方差的计算公式，平均值距离总平均值越远的组，波动越大。当各组的均值距离总体均值越远时，更容易得到各组均值之间存在显著性差异的结论。下图是四个组数据的点图，可以粗略知道数据的分散情况。

组间波动，可以用各组均值与总体均值的离差平方和来衡量吗？如下图的公式。

当然不行，因为在收集样本时，每组的样本大小是5个数据，但上面公式没有体现出样本量的作用。要把每组中的每个一个数据的信息都用上，必须在公式中把样本量的信息补上。

最终，组间波动的计算公式如下。这个公式中，即包含了每组样本量的信息，也有组数信息，也包含了每组均值的信息。

b. 组内波动

导致各组数据波动的原因，一种是系统原因，比如这里的温度。另外一种是偶然原因，或随机原因。

为了分析出各组「60度、65度、70度、75度」的均值是否有显著性差异，除了系统原因（温度）外，还要考虑由于偶然的、随机的原因导致的随机误差。

问题来了，随机误差如何来衡量呢？似乎很难。这里认为，各组数据的组内波动，是由于随机原因导致的，就当做是随机误差。现在有四个组，先求各组的组内误差平方和，再将所有组的误差平方和求和，公式如下。

得到SSA和SSE后，F统计量是不是就是下面的公式呢？

当然不是。这个公式没有考虑到一个问题，就是随着组数的增加，或每组样本数量的增多，SSA和SSE都是会随着增大的，且这种增大不是线性的。

如果有更大的样本，则有更多的离差平方和相加，结果是，离差平方和变得越来越大。所以要引入自由度，否则，方差不具有可比性，F统计量也没有意义。综合以上，F统计量的计算公式如下：

要得出均值不相等的结论，我们需要较小的组内波动。这是因为组内波动是没有被解释的波动，就是说造成组内波动的原因是不清楚，是偶然原因导致的随机误差。随着随机误差的增加，组均值之间的差异更有可能是由随机误差引起的，而不是由总体水平的实际差异。所以，我们希望随机误差越小越好。

02 求F值

为了演示F值的求解过程，下面用EXCEL进行演示。

F统计值越小，说明组内波动更紧密地聚集在一起，相对于每个组中的随机误差，均值之间的距离很小，不能得出均值之间存在显著差异的结论。

F统计值越大，意味着组间波动远大于组内波动，在这种情况下，各组均值之间的观测差异，更有可能反应出总体水平的差异。

05 F分布

单看F值，是得不出结论的。要结合F值在F分布中的位置，才能得出结论。

F分布，是一种抽样分布。结合案例说明，我们在60度、65度、70度、75度时，各得到了5个样本数据，现在假设这样不停的做实验10万次，那么每次实验都可以计算得到一个F值，10万个F值，根据频数，就可以得到一个分布，这就是F分布。

当然，现在我们不需要一次次的做实验，再去确定F分布了。由于统计学家的贡献，F分布只与因子的自由度和随机误差的自由度有关。在这个案例中，因子的自由度dfA=3，误差的自由度dfE=16，概率图如下：

从图中可以看出，F分布是右偏分布。

06 F检验

建立一对假设：原假设H0：温度对得率没有影响（所有均值均相等）备择假设H1：温度对得率有影响（至少有一对均值不等）

可以发现P值=0.002＜0.05，说明要拒绝原假设，不同温度对烧碱产品的得率是有影响的。

07 最后

为什么可以用分析方差的方式来来检验均值的差异呢？

不知道注意到没有，无论是计算因子的离差平方和，还是误差的离差平方和，在计算公式中，都是涉及到了「总平均」、「组平均」，考量的都是组平均的波动，这使得我们可以分析出组与组之间的差异。

虽然，通过方差分析可以得出各组的均值不一样，但具体是哪几组不一样，这还要通过其他的均值检验来分析。另外，还要强调一点，方差分析对样本的方差是很敏感的，进行方差分析前，要进行等方差检验。

以上，是小林的分享。

最后：

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