什么是单因素方差分析？

方差分析是英国统计学家R.A.Fisher于20世纪20年代提出的一种统计方法，有着非常广泛的应用。单因素方差分析，即One-Way ANOVA（One-Way Analysis Of Variance）是方差分析的一种。是研究在某单一的因素影响下，因变量在该单一因素的不同水平下不同组别之间平均值差异。

单因素方差分析的作用是什么？

检验受单一因素影响下，不同因素水平分组的因变量值的平均值是否相同（不同分组均值是否存在显著差异）。例如：不同销售方式，其销售额是否有显著差异；施肥量不同，对农作物收获量的影响；教授方法不同，对成绩是否有显著差异等。

进行方差分析的前提假设（条件）是什么？

需要满足三个基本假设：

• 所有样本均来自正态总体；（正态性）
• 这些正态总体具有相同的方差；（方差齐性）独立抽样。
• 所有观测值相互独立。（独立性）

方差分析的关键术语？

• 因变量（Dependent）：度量测量的实验结果。
• 因素（Facor）：影响实验结果的自变量，也称因子
• 水平：因素划分的类别，取值类别。

One-Way ANOVA使用的库及数据

import pandas as pd
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from statsmodels.stats.diagnostic import lilliefors
from scipy.stats import levene
from statsmodels.stats.multicomp import MultiComparison
from scipy.stats import f_oneway

df = pd.read_csv('单因素方差分析-三个条件均满足的情况.csv')

• '单因素方差分析-三个条件均满足的情况.csv'数据集结构、数据集的描述性统计结果如下：

数据呈现

sns.pointplot(data=df,x='teach',y='method_score',capsize=0.1,ci='sd')
plt.ylim(50,100)
_= plt.title('score between different teach method')
sns.boxplot(x='teach',y='method_score',
data=df)
sns.despine(offset=6,trim=True)

方差分析正态性检验：lilliefors检验

正如之前所讲，方差分析有个前提条件是因变量需要符合正态分布（正态性），网上方差分析文章很多，但严格按照假设前提进行检验后再分析的却很少，或许认为样本是正态的，或者认为虽然不正态，但对分析结果影响不大，因而很少有人先进行正态分布性检验。

事实上方差分析的因变量确实需要满足正态分布特质，如果没有满足，则可以使用非参数检验进行检验。例如：MannWhitneyu检验，Kruskal-Wallis-H检验。Alexander-Govern 检验 (scipy.stats.alexandergovern) 。

mannwhitney：Mann-Whitney rank test on two samples.

friedmanchisquare：Friedman test for repeated measurements.

ksstat = []
pval = []
teach_i =[]

for i in df.teach.unique():
data_i = df[df.teach ==i]
ks,p = lilliefors(data_i['method_score'])
ksstat.append(ks)
pval.append(p)
teach_i.append(i)

检验结果：

除了teach4外，其他p值均通过正态性检验。当然，是否这也与显著性水平大小的选择有关。

SPSS检验结果如下图：

方差齐性检验：levene检验

teach_data = []

for i in df.teach.unique():
data_i = df[df.teach ==i] teach_data.append(data_i.method_score)
ks,p = levene(teach_data[0],teach_data[1],teach_data[2],teach_data[3],teach_data[4],teach_data[5])

检验结果：

ks = 2.06, p = 0.0699，方差齐性。

SPSS结果如下图：

One-Way ANOVA:使用scipy.stats.f_oneway

stat,p = f_oneway(teach_data[0],teach_data[1],teach_data[2],teach_data[3],teach_data[4],teach_data[5])

检验结果：

p= 0。不同教法（组）对成绩有显著影响。

SPSS结果如图：

多重比较：寻找显著差异

from statsmodels.stats.multicomp import MultiComparison
mc = MultiComparison(df['method_score'],df['teach'])
result = mc.tukeyhsd()
result.plot_simultaneous(figsize=(6,4),xlabel='score',ylabel='teachMethod')
plt.grid(b=True, which='major', axis='x')

结论：

• teach2与teach5组成绩没有显著差异；
• teach5与teach6组成绩没有显著差异；
• 其它组成绩显著性差异情况上表已经通过True给出。