概述：

关于物理和数学的关系，我个人是倾向于认为，数学只是描述物理过程的工具，我们终究要解决的是物理问题。那么为什么非要用数学呢？一方面，物理过程的描述借助数学语言会变得简洁；另一方面，数学的抽象性、可以剔除掉影响理解的物理细节，直达物理现象的本质。这是数学的好处，同时也在很多时候成为它的问题：对于像我这样不能熟练驾驭数学工具的人来说，数学本身成为比物理过程更大的麻烦，导致很多时候不得不把更多的精力，花在数学处理上，从而影响了对物理本身的理解。所以我这篇文档，不是详细介绍数学处理本身的，而是根据我的理解，梳理微波电磁场问题解的过程；争取把数学过程的逻辑、用相对简单的方式提出来，从而把更多的精力花在物理过程的理解上。

“只见树木、不见森林”，说一个人不能超越细节去把握全局。我这么多年一直对一个问题很困惑：对于一门学科的学习，先从树木开始好、还是先给个森林的全貌，然后再深入每个细节去学习比较好。我理解的大部分教科书都是先从局部的细节开始，当整个课程学完的时候，因为时间周期拉的相对比较长、前面的东西有些遗忘了，很难形成一个整体、系统的概念。所以我这儿的另一个目的，是用相对快速和粗略的方法，把整个微波电磁场问题的解梳理一遍，试图形成一个整体的印象，然后再进入每一部分细节的介绍，看这样是不是有更好的效果。

另外需要说明的是，我在梳理过程中，主要是为了把数学简化、从而更好的理解物理过程和逻辑；不少数学和物理过程认识，都是基于这些年工程实践中自己的理解，加之理论水平所限以及过程的简化，肯定有很多不够严谨甚至错误的说法。我之所以还要说出来，主要是基于这样的认知：客观是绝对的，而描述和解释客观现象的理论都是相对的；我们现在所有的理论，都是在一定范围内正确。如果一种说法或解释，在你要处理的问题范围内适用、可以很好的解释和预测现象，并指导工作，那么它在你需要的这个范围内就可以认为是个好理论。范围扩大之后它可能不适用了，那就需要再寻找覆盖范围更大的解释；原本的理论也不能说是错误、只能是适用范围不够了而已；比如牛顿力学在高速、微观的情况。正是基于这样的认知和想法，我才决定谈谈自己的理解过程和想法，请大家选择接受。

主要思路

在讨论微波电磁场问题之前，先说下“振子”，就是我们在物理力学部分一开始学习的弹簧振子。这个看似简单不过的小东西，可以认为是力学的最小完备系统（对于这一点，有很多个人的理解在里面，后面我会专门讨论）。弹簧振子的方程，就是质量乘以加速度等于弹簧拉力的那个，是极少数有解析解的微分方程之一；同时，我们后面绝大部分微波电磁场问题的方程，都是转化为“振子方程的形式”然后求解的。注意，这儿是说振子方程的“形式”，就是说抛开符号不同，但从数学公式上看是一样的！基于这个认识有两个好处：首先我们只要把振子方程玩的足够熟，后面看到这种形式直接套结果就行，保证不错。另一个好处是，电磁场是看不见摸不着的东西、而弹簧振子是实实在在的；只要方程一样，从本质上说是一样的变化（微分方程是描述变化的）或现象，我们可以把对应的物理量和物理过程，套到弹簧振子上去理解，很多时候会容易很多。

数学有个很大的好处是，它可以把很多物理过程的本质提取出来，相似的系统会表示成基本一样的数学公式；其实很多看起来完全不同的领域和系统，抛开符号的不同，都具有完全一样的数学表达；这种情况下，如果把不熟悉领域、不太直观、不太容易理解领域的问题，对标到熟悉的领域，可以很快的把握和理解新的领域。

就微波和电磁场觉得大部分问题，大概可以分这么几块：传输线，这是微波和射频电路的基础，解决大部分“路”的问题的基础。无源和有源静场，这是很多场分布问题的基础；无源电磁场，这是很多类似波导等本征问题的基础；有源电磁场，这是辐射场的基础。而这些问题的基本方程，都是转化为“振子方程的形式”然后求得解。下面是个简单的思维导图：

我后面的大概思路是，先就这个思维导图的每一部分，粗略说下处理思路和过程；然后就每一部分，后续有专门的详细解释。最后，就最复杂的有源电磁场问题，我结合这个处理思路，举一个应用的例子：电磁计算的矩量法。

我在大学学习《数理方程和特殊函数》的时候，有个很不好的体验；课程一上来就是一个泊松方程，不分青红皂白就解和变换，等那几个方程解完了，这门课也结束了。我当时就非常迷惑，我为什么要解这个函数，这样做的意义是啥，并且为什么要做这样的变换；带着这样的抵触心理、学的很是费劲。所以我这儿一直有个想法是，把数学过程尽可能简单化、工具化，而把物理的理解更紧的串起来。后面的变换也更偏重思路和方法，而不是具体的数学细节。

振子方程

我们学物理最早接触的弹簧振子，具有确定的方程和明确的意义，同时这个方程有确定的解析解；这是我们后面一系列方程的基础。写成方程的形式为：

解为:

考虑到弹簧任意的初始位置，通解写成复数形式为：

不要被复数形式吓着了，后面讲振子方程的时候会详细说，主要是这种形式，在处理后面其他问题的时候更直观。

如果抛开各个符号的物理意义，写成更通用的数学形式有：

通解为：

直白的说：一个函数对变量的二次导数，等于这个函数乘以一个常数。这个通解和振子方程的通解唯一不同，是指数项前加“±”号；是考虑到在其它应用形式中，变量可能是空间位置，可以往前也可以往后；而振子中这个变量是时间t，只有一个方向。后续大部分微波电磁场问题，都是为了把方程转换为这种形式，然后求解。基于这样的理解，只要看到这种形式，马上会想到上面解的形式；其次对每个量代表的物理意义，可以联想到振子的情况来对应；这样理解起来要容易的多。

无耗传输线

传输线是微波电路的基础，它的基础是著名的电报方程；电报方程是怎么得到的，我会在后续专门介绍这部分的时候细讲；这儿先看电报方程的基本形式：

其实得到这个式子很简单，直流电路中，“电压=电流*电阻”的等式，考虑到高频之后的寄生参数即可；后面详细讨论这部分的时候再说，这儿先记住这组公式。公式的两边都同时有电压和电流，通过消项分别表示成电压的等式和电流的等式如下：

如果是无耗有（R=G=0）：

这就是著名的波动方程，等式左边函数（v）对空间变量（z）的二次导数、等于等式右边函数（v）对时间变量（t）的二次导数）；空间变化和时间变化相互转换往前传播，这就是波动。

对正弦交流信号

带入得到：

这是“振子方程的形式”，直接套用振子方程的解：

时间维度上已经假定是正弦信号了，所以乘在一起就是最终通解：

这儿的通解中，位置变量前取了个负好，表示信号是沿正z向传播的。为什么这儿处理时可以假定是正弦信号？想想傅里叶级数：任何信号都可以表示成正弦信号的叠加，就是说所有信号，我都可以把它先分解成正弦形式，然后用这种方法求解，所以这样的假定具有通用性。

从这个例子可见，转化成振子方程之后，解直接可以看出来；并且物理量的意义，可以套用弹簧振子来理解。比如上面的β，和振子对应的符号是频率ω；实际上β的确可以理解为空间频率，就是随空间距离不同相位的变化量，我们一般叫波矢。

有耗传输线

如果是有耗传输线怎么办？我们仍然假定信号是正弦的，刚才说了，这种假定具有通用性：

带入电报方程得到：

同样是把电压等式和电流等式单独表示得到：

其中：

是不是再次得到了振子方程的形式！解又可以直接套出来：

加上时间维度得最终解：

和无耗传输线解唯一的不同是，前面多了个随位置的衰减量，这也是合理的。

至此，做为微波电路基础的传输线部分的解就搞定了，有没有比教课书上的讲法容易理解一点？