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今天,我们要学习如何将电磁场量子化。我们先考虑非相对论体系。这种情况下,使用库仑规范比较合适。也就是说,我们将矢量势的散度设置为零。
? ? A = 0
所以 A 的散度为零。这就是所谓的库仑规范。如果我们研究的是相对论体系,那么洛伦兹规范会更适用。在库仑规范下,电场由法拉第定律定义为矢量势对时间的负导数,而磁场就是 A 的旋度。
E = - ?A/?t
B = ? × A
现在,如果把这些公式代入安培-麦克斯韦定律,就会发现推导过程非常简单,就像我们之前从麦克斯韦方程组推导波动方程一样。最终,我们会得到 A 的拉普拉斯算子等于 1/c2 乘以 A 对时间的二阶导数。这就是经典的波动方程。
?2A = (1/c2) ?2A/?t2
所以如果我们考虑一个边长为 l 的盒子,如图所示,边长为 l,所以体积 V 等于 l3,然后应用周期性边界条件,我们就能得到一系列电磁波。所以这里是一个波,然后我可能会得到另一个这样的波,最后可能还有另一个这样的波。
所以我将得到所有这些波,我们可以将矢量势分解成一系列波数为 k 的波,这些波既可以向右传播,也可以向左传播。我们可以用下面的公式来表示:
A = Σ_k [ a_k? e^(iω_k t) + a_k? e^(-iω_k t) ] e^(i k ? r)
ω_k = c |k|
其中,ω_k 定义为光速 c 乘以波数 k 的模长。所以 ω_k 等于 c 乘以 k 的模。加上 ak-e^(-iωkt)。好的?
这定义了一个向右传播的波,所以在正 k 方向,而这定义了一个向左传播的波,在负 k 方向。当然,我们必须把它乘以空间因子 e^(i k ? r)。
让我用另一种方式重写它。我们将不得不做一些操作。所以我把它写成 a±k 的形式。
我在这里做的是,我从正 k 值求和,比如说从 -k 到 k。在这里,我将颠倒求和的顺序。通过这样做,我将得到 e^(-i k ? r),对吧?因为通过颠倒求和的顺序,这个 k 变成了 -k。
-iωkt。对吧?因为我需要这个是正的,所以负乘以负。好的。我颠倒了向左传播的波的求和顺序,但我不会颠倒向右传播的波的求和顺序。
所以我将得到 +ak-e^(ikr-iωkt)。好的?现在注意矢量势必须是一个实数量。它不能是一个复值函数。所以我们需要 A 等于 A 的共轭。
A = A*
换句话说,对 k 求和的 a±k*。所以 e^(ikr-iωkt) 的复共轭加上 ak-,再次是复共轭,e^(-ikr-iωkt)。对吧?所以我取了矢量势的复共轭必须等于这个。所以这两个必须相等。
因为向左和向右传播的波的这个项和这个项必须是正交的,我发现 a-k+ 的复共轭必须等于上面表达式中 e^(ikr-iωkt) 的因子。所以它必须等于 ak-,因为这些指数是正交的。或者,a-k+ 等于 ak- 的复共轭。我可以把它插回这里,我发现,不。我怎么移动?
a???* = a??
a??? = a??*
哦,找到了。我发现 A 等于对 k 求和的 ak- 的复共轭 e^(-ikr-iωkt) 加上 ak-e^(ikr-iωkt)。正如你所看到的,这必须是一个实数量,因为这只是这个的复共轭,对吧?所以这是这个的复共轭。这个向右传播,这个向左传播。
A = Σ_k [ a_k?* e^(-i k ? r - iω_k t) + a_k? e^(i k ? r - iω_k t) ]
好的?现在最后回忆一下,电磁波可以有两种不同类型的偏振。它可以被偏振垂直或平行于平面,因此,如果我可以写 ak,哦,是的。对不起。这些必须是矢量。
绝对地。这些都是矢量。所以 ak 必须等于一个标量 ak 乘以一个偏振,这将添加一个额外的索引。好的?这个偏振矢量从 λ 等于 1 到 λ 等于 2。
a_k = a_k ε_λ (λ = 1, 2)
所以它可以取两个不同的值,对应于电磁波的两种不同的偏振。好的?所以这等于 ak-e^(ikr-iωkt) 加上 ak。现在为了简单起见,我将去掉这个负号。我的意思是,它不是一个负号,它是一个负号符号,因为它没有用,我将得到这个。
所有这些都乘以一个偏振矢量。所以我们必须在这里添加 λ 索引。就是这样。这就是我们的矢量势。做了很多努力才得到这么简单的东西,有良好物理洞察力的人可能能够直接猜到这一点,但更正式地推导它是有好处的。
A = Σ_{k, λ} [ a_kλ* ε_λ e^(-i k ? r - iω_k t) + a_kλ ε_λ e^(i k ? r - iω_k t) ]
好的。所以这实际上是将矢量势分解成波矢量为 k 的波,对于每个波矢量,一个波,一个波偏振 eλ,其中 λ 从 1 到 2。因为这些是平面波,k/k,对吧,e1 和 e2 必须形成一个正交基。好的?所以这是我们稍后必须记住的一点。
k/|k|, ε?, ε? 正交基
太棒了。现在我们找到了一个矢量势。这允许我们找到系统的哈密顿量。电磁场的经典哈密顿量是在空间上的积分。它是 ε? 乘以电场模的平方加上 1/μ? 乘以磁场模的平方在空间上的积分。我们在真空中工作,所以没有电介质,没有材料。所以我们可以使用这些值作为介电常数和磁导率。好的?
H = ∫ d3r [ ε? |E|2 + (1/μ?) |B|2 ]
但是现在我们可以使用库仑规范中电磁场的定义,我们在这里有。好的?很容易记住。所以这里我们得到这等于 ε? 乘以矢量势的导数的平方加上 1/μ? 乘以 A 的旋度的平方,对 r 积分。好的?
H = ∫ d3r [ ε? |?A/?t|2 + (1/μ?) |? × A|2 ]
现在有很多方法来评估这两个积分。它们有点讨厌。你可以直接积分,代入,找到导数,找到这个的旋度并积分。它有点长。有一个巧妙的小技巧,布鲁斯和弗伦斯堡多体物理学这本书推荐,这种方法是使用帕塞瓦尔定理。所以这是一点傅里叶分析。
我不会证明这个结果,但本质上帕塞瓦尔定理指出,如果它在实空间中取某个函数的空间积分,而这个函数实际上是某个其他函数的 f 的模的平方。对吧?如果我取这个积分,那么我可以把它在傅里叶空间中写成傅里叶变换的模的平方的和。好的?我在这里使用求和是因为 k 是一个离散变量。
如果它是连续的,我将不得不使用积分。好的?所以这看起来很直观,我们将使用它,因为它允许我们将这个积分写成一个和而不是一个积分,这通常更容易处理。好的。所以我们的第一个目标是找到电场的傅里叶变换。
∫ d3r |f(r)|2 = Σ_k |f(k)|2 (帕塞瓦尔定理)
现在我将做傅里叶变换。我将在变量 k' 中进行,因为会有很多 k 飞来飞去。所以我将在变量 k' 中进行。这很容易理解。我将拉出矢量势。
所以它只是 iω。这来自于取导数。对吧?所以一旦我取了导数,你所要做的就是查看 k 为正的分量和 k 为负的分量。这就是你如何得到傅里叶变换。
所以这将是 akλe^(-iωkt) 乘以 δk'k。这来自于对 e^(ikr) 进行傅里叶变换。好的?这是负的,对不起,加上 akλ 的复共轭 e^(iωkt) δ-k'k。负的,因为这里我们有一个负号,所以当我们做积分时,δ 函数得到 k 一个 -k'。
好的?乘以 eλ。现在一点符号。这是一个直接 δ 函数。所以这实际上就等于这个。
好的?我不会写这个版本,它有点长,而且不适合,但这些被定义为等价的。好的。所以它是一个直接 δ 函数,它只选择等于 k' 向量或 -k' 向量的 k 向量。好的。
这是这个时间导数的傅里叶变换。我们也可以以完全类似的方式找到旋度的傅里叶变换。所以我们得到对 k 和 λ 求和的 ik 叉乘 eλ。对吧?这来自于你如何对旋度进行傅里叶变换。
然后是同样的事情。完全一样的东西。好的。所以这是两个傅里叶变换,现在我们实际上已经准备好计算积分了。只有两件需要注意的事情。
实际上,没有。我们稍后再注意到它们。所以首先,这个的积分,这是我们感兴趣的积分之一,正如你在这里看到的,根据帕塞瓦尔定理,将等于对 k' 求和的矢量势关于时间的导数的傅里叶变换,我们必须取模的平方。好的?那么我们如何使用我们发现的这个傅里叶变换来写这个呢?
∫ d3r |?A/?t|2 = Σ_k' |F[?A/?t](k')|2
所以它将等于对 k、k'、λ、λ' 求和。记住,当你对两个和进行乘积时,确保你使用不同的索引,因为如果你使用相同的索引,它可能会造成很多混乱。好的。所以我将得到 iω 乘以复共轭,所以是 -iω。然后我将得到这整个东西。
希望我能以某种方式复制它。就是这样。好的。现在这将是 eλ,然后是点积,对吧?因为取这个,这将是一个矢量量,所以我们将不得不取它与其复共轭的点积,我们现在正在这样做,我们将得到,对吧。
这就是我们将得到的,但我们必须取复共轭,所以这变成了正号,而这变成了负号。好的?乘以 eλ'。是的。所以这得到了 λ'。
这得到了 λ'。好的。是的。接下来,我们使用以下恒等式。所以 eλ 点积 eλ' 等于 δλλ'。
ε_λ ? ε_λ' = δ_λλ'
好的。为什么?因为正如我们所说,λ 和 λ' 以及 k 形成一个正交基。我们正在考虑横波,所以这些形成一个正交基,所有正交基都满足那里的规则。换句话说,这将简化为 λ 和 λ' 变量彼此相等的和。
所以 k,k',λ,ω2。现在记住,当我们对 k 和 k' 求和时,dδk,对不起。dδk'k 和 δ-k'k。对吧?这个乘积的所有项都必须抵消,因为一个除非 k 等于 k',否则为 0,另一个除非 k 等于 -k',否则为 0。显然,唯一满足这一点的向量是 0 向量,而 0 向量的波矢量并不是很有趣。
所以对于所有物理情况,交叉项,比如这个乘以这个,将会抵消,因为 δ 函数不合适。然而,像这个乘以这个或这个乘以这个的项不会抵消,因为 δ 函数包含相同的变量。换句话说,我将得到 akλ2 加上 akλ2。所以这等于,再次,我在简化 δ 函数时丢失了对 k' 的求和,对 k' 的求和。所以我最终得到了这个和。
2 乘以 ωk2 的和。我忘记了这里的 k。乘以 akλ2。太棒了。现在对另一个带有矢量势的旋度的积分的计算非常相似。
所以我发现我们发现这个的平方的积分将等于对 k' 求和的旋度的傅里叶变换的 k'。对不起。旋度在 k' 中的傅里叶变换的平方。现在再次,这将是一个矢量量,所以我们将不得不取傅里叶变换与其复共轭的点积。所以我将不得不取这个项。
∫ d3r |? × A|2 = Σ_k' |F[? × A](k')|2
好的。这将等于这个点积,另一个和,它将是 ik 乘以 eλ',带有一个负号,因为我们正在取复共轭。akλ',对不起。aakλ 的复共轭加上 iωkte^(iωkt) δk'k 加上 akλ'e^(-iωkt) δ-k'k。现在是我们使用另一个恒等式的地方,这可以使用,例如,使用莱维特莱维特莱维托维茨维托张量很容易地证明,它是以下内容。
所以我正在取这两个涉及正交向量的叉积的点积,正如你可能猜到的,这等于 k2δλλ'。这简化了一点,因为我们的和现在将变成 k,k' 和 λ 的和,因为当我们对 λ' 求和时,只有等于给定 λ 的项才会幸存下来。所以这等于 k2 乘以,乘以这里的乘积,我们就这样。并且,再次,唯一幸存下来的项是类似项,其中 δ 函数包含相同的变量。所以例如,v2 和 v 是 2。
并且,再次,当我们对所有 k' 求和时,唯一幸存下来的项是对应于给定 k 的项。所以我们得到对 k 和 λ 求和的 k2 乘以 akλ2 加上 akλ2。好的。所以这等于,现在我们可以使用另一个恒等式,它是这个。这允许我们将这整个东西写成,对 k 和 λ 求和的 ωk2/c2 乘以 2 乘以 AKλ 的模的平方。
(i k × ε_λ) ? (-i k × ε_λ') = k2 δ_λλ'
ω_k = c |k|
我们差不多完成了。我们已经评估了讨厌的积分,这些积分显示在这里。所以哈密顿量实际上就归结为这个。二分之一乘以 ε?,2 乘以对 k 和 λ 求和的 ωk2akλ2 加上 1/μ?,对 k 和 λ 求和的 ωk2/c2 akλ2。好的?
H = 1/2 ε? Σ_{k,λ} 2ω_k2 |a_kλ|2 + 1/μ? Σ_{k,λ} 2ω_k2/c2 |a_kλ|2
这只是一点代数。你可以使用波,频率和波,以及波速,你最终只会得到 2ε?,对 k 和 λ 求和的 ωk2akλ2。这是经典哈密顿量。
H = 2 ε? Σ_{k,λ} ω_k2 |a_kλ|2
现在我可以通过引入 a 振幅的实部和虚部以另一种方式写出它。所以我可以说 akλ 等于 akλ 的实部加上 iakλ 的虚部。如果你这样做,你将得到 ωk2akλ 的实部加上 akλ 的虚部的平方。这开始越来越像谐振子的哈密顿量。为什么?因为它包含两个二次项。这个 ωk2 暗示了振荡器的某种角频率。
a_kλ = a_kλ_Re + i a_kλ_Im
H = 2 ε? Σ_{k,λ} ω_k2 (a_kλ_Re2 + a_kλ_Im2)
事实上,人们可以很容易地证明,有两组共轭变量。对吧?所以一个是以下,qkλ 等于 2 乘以 ε? 的平方根,arkλ,pkλ 等于 2ωk2 乘以 ε? 的平方根,aikλ。现在这些是正则共轭变量。这意味着如果我取哈密顿量,如果我取它关于 q 的导数,例如,我将添加下标,那么我将得到另一个变量,并带有一些我的分配的符号变化。
q_kλ = √(2ε?) a_kλ_Re
p_kλ = 2ω_k √(ε?) a_kλ_Im
所以我得到了,另一个变量的时间导数,带有一些符号变化。这里也是一样。你可以检查,给定这两个定义,这就是发生的事情。好的。所以如果我们使用这两个变量,来重写哈密顿量,那么本质上,这将变成二分之一平方根 s 或对 k 和 λ 求和的 pkλ2 加上 ωk2qkλ2,信不信由你,这是一个谐振子的哈密顿量。
H = 1/2 Σ_{k,λ} (p_kλ2 + ω_k2 q_kλ2)
所以我们已经证明,在经典物理学图景中,这是一个谐振子。所以现在我们可以对其进行量子化,并得到一个量子谐振子。我们以一种非常类似于我们如何量化正常谐振子的方式来做到这一点。这本质上是通过将这些正则共轭变量提升为正则共轭算符。所以我只是可以升级这个 p 和这个 q,所以这个 pqλ 将成为一个算符。q 也是一样。因为它们在经典图景中是正则共轭的,我们知道,它们在量子图景中必须满足正则对易关系。所以这必须等于 ihδkk'δλλ',等等。你知道什么是正则对易关系。好的。
[q_kλ, p_k'λ'] = i? δ_kk' δ_λλ'
[q_kλ, q_k'λ'] = 0
[p_kλ, p_k'λ'] = 0
所以这个哈密顿量变成了哈密顿量算符,等于二分之一对 k 和 λ 求和的 pkλ2 加上 ωk2qkλ2。好的。所以我们已经对其进行了量子化,现在我们只需使用阶梯算符的典型技巧。我可以引入阶梯算符 akλ 等于 hbar/2ωk 的平方根乘以 ωkqkλ 减去,对不起,加上 ipkλ,我也可以以一种非常类似的方式定义它的厄米共轭。所以 hbar/2ωk 的平方根,ωkqkλ 减去 ipkλ。
a_kλ = √(?/2ω_k) (ω_k q_kλ + i p_kλ)
a_kλ? = √(?/2ω_k) (ω_k q_kλ - i p_kλ)
所以这些是阶梯算符。我实际上可以使用这些来表达我的初始算符。换句话说,我可以将 qkλ 写成 hbar/2ωk 的平方根乘以 akλ? 加上 akλ。类似地,我可以将动量算符表示为 i 乘以 hbarωk/2 的平方根乘以 akλ? 减去 akλ。好的。
q_kλ = √(?/2ω_k) (a_kλ? + a_kλ)
p_kλ = i√(?ω_k/2) (a_kλ? - a_kλ)
所以我已经引入了这些阶梯算符,这些阶梯算符是使用正则动量和正则位置和动量算符定义的。所以如果我把这些代入这里,它应该给我一个新的哈密顿量,而且它很容易计算。例如,qkλ2。那会是什么?那将只是 hbar/2ωk 乘以 alpha,对不起,akλ?2 加上 akλ2 加上 akλ?akλ 加上 akλakλ?。
以非常类似的方式,我也可以找到 pk2。我将把它作为一个练习,所以这只是一个例子。好的。但是如果我把这个代入这里做一些代数,我最终会得到一个新的哈密顿量,由非常熟悉的表达式给出。k,λ,akλ?akλ 加上二分之一。
H = Σ_{k,λ} ?ω_k (a_kλ? a_kλ + 1/2)
就是这样。我们基本上已经量化了电磁辐射的经典哈密顿量,我们已经将其量化为一个谐振子。我们在这里真的完成了。没有太多其他事情要做。我们可能想要做的最后一件事是使用这些创建算符,这些其他算符来写一个矢量势。这很容易做到,因为我定义了我定义了 akλr 等于 qkλ 除以 2 乘以绝对 0 的平方根,还有 akλi 等于,哦,对不起,不,这些是经典的,但是当我量化哈密顿量时,我把它变成了一个算符。所以这个振幅现在变成了一个算符。所以,类似地,这个虚部是动量算符除以 2ωk 乘以 ε? 的平方根。所以如果我把这些代入,把这些表达式代入我最初的,势的表达式,矢量势的表达式。对吧?
a_kλ_Re -> q_kλ / √(2ε?)
a_kλ_Im -> p_kλ / (2ω_k √(ε?))
所以如果我把它们代入这里,那么我最终会得到,另一个表达式,用于,用于矢量势,你可以在讲义中找到它。它很长,而且这也是一个很长的视频。但你会在讲义中找到,但它实际上只是定义这些算符,这里用位置和动量算符定义阶梯算符。非常酷。所以这就是你如何量化电磁场。
你会发现,像往常一样,讲义中,有详细的推导步骤。
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