「持续更新」全等三角形常见辅助线:倍长中线法

倍长中线法知识点

1.三角形的中线：三角形的顶点和对边中点的连线

2.证明线段不等关系：在三角形中，两边之和大于第三边，两边只差小于第三边

3.中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线。所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法。

4.添加辅助线方法

巩固练习1：已知在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE=AC，延长BE交AC于F，求证：AF=EF

巩固练习2：已知CD=AB，∠BDA=∠BAD，AE是△ABD的中线，求证：∠C=∠BAE

巩固练习3：阅读理解：课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：

在△ABC中，AB＝9，AC＝5，BC边上的中线AD的取值范围．

（1）小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法（如图1）：

①延长AD到Q使得BQ＝AD；

②再连接BQ，把AB、AC、2AD集中在△ABQ中；

③利用三角形的三边关系可得4＜AQ＜14，则AD的取值范围是 ．

感悟：解题时，条件中若出现“中点”“中线”等条件，可以考虑倍长中线，构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中

（2）请写出图1中AC与BQ的位置关系并证明；

（3）思考：已知，如图2，AD是△ABC的中线，AB＝AE，AC＝AF，∠BAE＝∠FAC＝90°，试探究线段AD与EF的数量和位置关系，并加以证明．

巩固练习4：自主学习，学以致用

先阅读，再回答问题：如图1，已知△ABC中，AD为中线．延长AD至E，使DE＝AD．在△ABD和△ECD中，AD＝DE，∠ADB＝∠EDC，BD＝CD，所以，△ABD≌△ECD（SAS），进一步可得到AB＝CE，AB∥CE等结论．

在已知三角形的中线时，我们经常用“倍长中线”的辅助线来构造全等三角形，并进一步解决一些相关的计算或证明题．

解决问题：如图2，在△ABC中，AD是三角形的中线，F为AD上一点，且BF＝AC，连结并延长BF交AC于点E，求证：AE＝EF．

中点的知识点相对来说比较多：

1. 分三角形面积为相等的两部分
2. 全等三角形中倍长中线法
3. 等腰三角形中三线合一
4. 中位线定理
5. 圆中重心
6. 直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一般
7. 相似三角形中利用中位线构造相似三角形

我们现阶段，基本上是利用倍长中线法。当然，以后学了其它知识点，也不要忘记这种方法。