等边三角形和一点(2) 等边三角形中一点到三边距离

上一篇文章，我们分析了一个等边三角形和一个点的位置关系的模型，分别研究点在三角形一条边上和点在三角形内部两种情况下会出现哪些模型和结论。本文继续探讨如果点在等边三角形外，又会有怎样的结论。

如图，有一个点D在等边三角形的外部，连接AD、BD、CD。

这是这类模型中最重要的一种情况，会产生非常重要的一个模型。我们来一起思考和推导，还是利用旋转来看看将会出现什么情况。

如图，我们将△ACD顺时针旋转至△ABE，连接DE。

不难证明△ADE是等边三角形，AD=ED，又因为CD=BE，所以，AD、BD、CD三条线段转移到了一个△DBE中。

当E、B、D三点不共线时，有BE+BD>DE，从而在原图形中则有BD+CD>AD

当E、B、D三点共线时，可以导出两个重要结论：

1) AD＝BD＋CD

2) ∠ADB＝∠ADC＝60°(或AD平分∠BDC)

现在，让我们来重新梳理一下这个重要的模型。

模型描述：一个等边三角形外部，有一个角∠BDC＝120°。

结论：

①AD=BD+CD

②AD平分∠BDC

反过来，关于这个模型的证明方法，我们又可以从四个方向来证明：

1、旋转

2、截长补短

3、构造等边三角形

4、角平分线

同时，这个模型还有一个变式：把已知的∠BDC＝120°变成∠ADC＝60°，上述结论仍然成立。