数学模型建构步骤 数学模型建构的基本原则

数学模型的构造，是指对现实世界中的原型进行具体地数学建构地过程。作为解决实践问题的数学模型，它要求灵活，综合地运用所学的数学知识来解决一些现实生活中的问题。数学模型的构造过程是数学的应用过程，是一个需要多次，艰苦的努力才能完成的过程，当然，也是一个创造性的过程。

在建构数学模型时，大体分为四个步骤。

第一，掌握和分析客观原型的各种关系，数量形式。数学模型是从现实原型中抽象出来的，如果我们不能准确全面地掌握客观原型的数量关系，内部变化规律等，就会无法构造出正确的数学模型。因此我们要求作为构造数学模型的第一步，要尽量地分析和掌握原型的各种数据和各种关系。

第二，确定所研究原型的本质属性，从而抓住问题的本质。从构建数学模型的意义上来分析，要清楚准备建立的数学模型的类型，只有这样才能为建构数学模型做好准备工作。这其中最重要的是认清变量关系以及事物各元素之间的关系。

第三，建立数学模型。这一阶段要求建立起在数学概念，语言表述，符号等基础上的数学模型。此时，客观原型已经被数学的抽象形式明确地表现出来，数学模型的确定性，随机性，模糊性已经十分清楚，进而应当运用的数学工具及计算用的表达式都应当清楚。

第四，对数学模型进行运演和检验。这一阶段要求把数学模型进行逻辑推理，理论计算的结果返回到实践中去检验，如果其结果不符合客观实践就要被修正，甚至重新构造数学模型。

以上四步用图形表示如下：

原型分析→确定模型类别→建立模型→检验

为便于理解，举一个现实生活中人口增长预测的例子

例：根据下表给出的数据，确定该国人口的增长规律，预测该国2020年的人口数

1. 建模的分析与判断（假设与简化）

这是一个确定人口增长模型的问题，假设：

（1）该国的政治，经济，社会环境稳定；

（2）该国的人口增长数由其人口的生育，死亡引起，与外界移民无关；

（3）该国的人口数量变化是连续的；

（4）该国的每一个人有相同的生育能力和死亡概率。

确定人口数量是时间的函数，记时间为t，t时刻的人口数为P（t）。

2. 建模与求解

根据给出的数据资料绘出散点图，寻找一条直线或曲线，使它们尽可能地与这些散点吻合，该直线或曲线就被认为近似地描述了该国人口的增长规律，从而作出预测。

观察以上散点图，从整体趋势来看，可以认为散点近似分布在一条以直线t=1850 为对称轴的抛物线上。选两点（1850，7.241）和（1930，62.949）可确定出该抛物线方程为：

这是人口增长的抛物线模型。

我们还可以认为散点近似分布在一条指数曲线上。取1970年，1980年这两年的数据确定方程，而用1990年的数据作检验。因此，过两点（1970，122.776）和（1980，131.67）求得指数方程为

这是人口增长的指数模型。

通过1990年的人口数据的检验，其误差分别为8.59%和1.07%。所以，可以认为第二个模型精确度更好。

为了更接地气，后面会为大家列举一些中小学教学中的常见数学模型。