什么是蒙特卡洛模拟

蒙特卡洛(Monte Carlo)模拟是以概率统计原理为基础，

模拟自变量的随机变化，算出由这些自变量所导致的其它因变量的数值，

并对结果进行统计分析，研究其分布规律，以达到认识事物特征及其变化规律的方法。

在对一些复杂电子电路进行分析计算时，

我们通常很难根据电子、电路理论得到电压、电流、功率等电气参数的解析解。

即使得到了解析解，我们很难分析因变量与自变量的极值关系，

因而无法得到各电气参数的最大、最小值，无法对其可靠性进行有效评估；

根据中心极限定理，一个由多个随机变量组成的整体分布为高斯分布，与多个随机变量的分布形式无关。

蒙特卡洛采用随机行走的方法，以某种概率分布(一般以均匀分布即可）的方式在一定范围内随机设定各元器件的性能参数，并计算出分析参量值。

尽可能多得重复该随机过程，对得到的分析参量进行统计分析，得到参量的分布情况，

以3倍的标准差所对应的分析参量值（相对为97.3%的概率分布），并将此值当作最坏情况对应的参量值。

圆周率的计算

如下图所示，一个圆位于正方形内部，并与正方形相切；

圆和正方形的面积之比是π/4。

在这个正方形内部，随机产生n个点（这些点服从均匀分布），

计算它们与中心点的距离是否大于圆的半径，

以此判断是否落在圆的内部。统计圆内的点数，

与n的比值乘以4，就是π的值。

理论上，n越大，计算的π值越准。

PS:　自几年前起，matlab6.5不能在64位系统上安装，matlab2010R需要license，

我就失去了matlab这一科研利器，对复杂计算就累觉不爱了。

没有了matlab，我用excel采用蒙特卡洛来计算圆周率，步骤如下：

1) 采用rand函数产生两组N个随机数，分别放于A列单元格以及B列单元格，一组计为x，另一组计为y；

2) 在c列单元格中，以公式sqrt(power(a2-0.5,2)+power(b2-0.5,2))，计算每一个(x,y)与圆心(0.5,0.5)的距离；

3)在d列单元格中，以公式if(c2<=0.5,1,0)对位于圆内的点进行映射，位于圆内的映射为数值1，否则映射为0。

4)对d列进行求和，得到的值就是位于圆内的点的个数M，

5)圆内的点数/总的点数=圆的面积/正方形的面积=π/4，得到π=4*圆内的点数/总的点数。

当Ｎ取5000时，算出π=3.127826

当Ｎ取100000时，算出出π=3.14248。

随机点数越多，计算得到的π越准确。

电路可靠性分析

在上一篇文章中，我分析了一个用于数码管LED驱动的电路，如下图：

分析得到三极管Q1的基极的电流计算公式：

式中，VOH是5.0V供电的单片机的输出高电压；

VBE是三极管Q1的B、E极导通电压；

β三极管Q1的电流放大倍数；

通过一些简化，算出流过LED的电流是一个恒定值，典型值大概为10mA。

但是并没有算出一些极限参数，不知道在其它电参数变化时，是否还保持恒定。

另外，未能三极管最大功率，不知道其是否能稳定工作，等等。

进一步计算，我们还可以得到流过LED的电流为：

Ic=β*Ib；

Q1的功耗为：

P=(VBat-(β+1)*Ib*R1-VLed)*β*Ib。

其中，VBat为电池电压，VLed为LED的导通电压；

我们接下来在两个方面对I和P进行可靠性分析：

1) 流过LED的电流最大值、最小值，确认其能保持恒定；

2) 三极管Q1在极限情况下的最大功耗，确保其不超过允许的最大功耗。

在上述分析时，根据规格书，我们知道与之相关的参数的取值范围：

VOH：4.8V-5.2V；

VBE：0.3V-0.9V；

R1：351Ω-429Ω；

R2：0.9kΩ-1.1kΩ；

R3：4.23kΩ-5.15kΩ；

β：30-150；

VLED：1.8V-2.5V;

VBat：9V-16V;

假设，这些变量都是独立不相关，而且其取值都在规格范围内随机分布的。

采用excel生成Ｎ组各变量的随机数，计算Ic和P：

取N=100000，得到流过LED的电流最大值为11.11mA，最小值为6.46mA。

三极管Q1的功耗最大值为112mW，最小值为24mW。

利用frequency函数对结果进行分区间统计，并绘制分布图，如下：

从数值结果来看，

LED的平均电流为：8.70mA，标准差σ为0.73mA；

取+/-3σ为最小、最大值，得到最小电流为：6.51mA，最大电流为：10.89mA；

波动范围比较小。

三极管功耗的平均值为：60.1mW，标准差σ为18.2mＷ，

取+/-3σ为最小、最大值，得到最小功率为：5.2mW，最大功率为：115mW。

在其允许最大功耗200mW范围内，所以在最坏情况下，三极管的功耗仍能满足规格要求；