上两篇文章分别介绍了线性屈曲与非线性屈曲中的前屈曲计算，本文介绍非线性屈曲中的后屈曲计算。

3.2 后屈曲

后屈曲需要计算出F-u（载荷-位移）图的下降段，以顶点作为屈曲极限，所以计算的值更可信，但是计算量也更大。

非线性屈曲有以下几种计算方法（摘至《ANSYS Workbench 有限元分析实例详解》——周炬 苏金英）

动力学有一定的下降段计算能力,但是无法捕捉跃越失稳。但显式方法可以处理复杂的接触问题，本文不做介绍。

控制载荷加载法由于收敛性问题，只能用于前屈曲，但是在应用了重启和稳定性控制后可以计算后屈曲。

控制位移加载法可以用于前屈曲和后屈曲，比控制载荷加载法更容易收敛，位移控制的缺点是只有在知道施加什么位移时才适用! 比如下图拱梁上施加压力载荷, 而不是集中力, 位移控制不可能使用。对于较复杂的载荷状态, 一般也不清楚施加什么位移。

弧长法有较好的下降段计算能力，弧长法和完全牛顿法的区别在于, 牛顿法在每一子步使用一个固定的外加载荷矢量(F),而弧长法在每一子步使用一个可变的载荷矢量(λF)，通过强加弧长迭代以得到沿与平衡路径相交的圆弧收敛,能够获得经历零或负的刚度行为的结构的解。

实例3 使用非线性后屈曲方法求解圆弧板的屈曲极限，由于本例圆弧板有屈曲趋向，所以无需设置初始缺陷，使用非线性静力学模块计算即可。

方法1 控制载荷加载法

Step1 建立算例与模型。

新建静力学算例，使用DM创建1/4圆弧曲面模型，圆弧半径R25，曲面拉伸长度50。

Step2 对称处理。

退出DM，进入Mechanical中。右击模型(A4)——插入——对称。

属性设置如下：重复数量2，类型为极坐标对称，对称方法为一半（如果选择全部则为圆形阵列），坐标系设置为全局坐标系，在全局坐标系使用极坐标功能时，Z向将转换为轴向。ΔR=0（径向偏移0），ΔY=0（轴向偏移0），Δθ（切向）设置为90°。注意，Δθ=90°或270°表示沿YZ面对称，Δθ=0°或180°表示沿ZX面对称

使用默认参数划分网格。

Step3 边界条件设置。

在圆弧上边线施加沿Y负方向的2000N的力（别问2000怎么来的，估算比屈曲极限稍大的值，或者先整个特征值屈曲计算，或者慢慢试出来的，不一定用2000，用其他值也许，读者可以自己试试），再限制此边线X和Z方向的位移为0，Y方向自由。圆弧下边线设置简支约束。

Step4 分析设置。

1. 打开大变形。
2. 设置子步如下：

（3）重启控制设置如下，在每一个子步都保留重启点，完成计算后也保留全部重启点。

Step5 初次求解。

点击Solve后开始计算，由于不收敛原因，计算将报错。

与上例一样添加总变形、约束处反力结果，再添加F-u图形，F设置为Y方向的支反力，u为最大位移或者Y方向的位移均可。从计算结果能看出第148子步之后出错。

Step6 稳定性控制。

在分析设置——非线性设置中将稳定性设置为常数，方法=能量，能量耗散率默认1e-4，稳定性极限默认0.2。

屈曲极限之后，结构刚度突变小，很小的子步力导致很大的位移，添加稳定性后，可以使屈曲极限之后的位移突变减小，有利于计算收敛。如果遇到不收敛，可以开启并调试稳定性中的能力损耗值（或阻尼值），默认未1e-5~1e-4，是一个很小的值，可以逐渐调试增大这个值，促使收敛。

稳定性选项详解：

程序默认不开启稳定性。用户可以设置的选项有关闭Off、常数Constant、减少Reduce。

常数表示在加载过程中，能量耗散率或阻尼系数不变。减少表示在加载过程中，能量耗散率或阻尼系数逐渐减小，直到在载荷步长结束时减小为0。设置为常数或减少后，需要进一步设置具体参数：

方法：能量表示以能量耗散比率作为控制要素，默认耗散比1e-5~1e-4，用户可以输入0~1之间的值。阻尼表示以阻尼系数作为控制要求，此时需要输入＞0的阻尼系数。

激活第一个子步后有3个选择项：否（默认）、是、在非收敛上（On Non Covergence）。分别表示在第一子步是否激活稳定性控制，在非收敛上On Non Covergence表示如果达到最小允许的时间增量后，第一步仍然不收敛，则在第一步激活稳定性控制。

稳定性力控制极限默认0.2，用户可输入0~1之间的数字。

Step7 重启动。

从上文可知，不收敛在第148子步，我们不能从147子步重启，否则还是不收敛。此例我们从第120子步重启。

位移时间历程结果如下

点击Solve，程序便从第120子步开始重启计算。如果还是不收敛可以将稳定性设置中的能量耗散率适当调大。计算的F（Y向）-u（最大变形）结果如下。可见屈曲极限为1404N。u的结果也可以通过在结果中插入用户自定义结果abs(uy)，F的结果也可以通过在结果中插入用户自定义结果abs(fy)，abs()表示取绝对值。

方法2 控制位移加载法

模型同上，将向下的载荷改为向下的52mm位移。

使用位移加载时，一般不设置稳定性控制也可计算出后屈曲，如果遇到不收敛情况，用户再选择性地添加稳定性控制。此例关闭稳定性控制。

计算的F-u结果如下。屈曲极限为1438.5，与方法1相近。

方法3 弧长法

边界条件与方法1一样，载荷为2000N，在边界条件中添加command命令。并输入以下代码：

nsubst,100 ！100个子步

arclen,on,5,0.005 ！弧长法，打开，最大弧长系数5，小弧长系数0.05。

最大弧长=5*2000/100=100N，

最小弧长=0.05*2000/100=0.1N.

arctrm,u,52,ntip,uy ！弧长法终止准则，位移，52，以ntip节点集位移为准，uy方

向。即当ntip节点集y方向的位移≥52时结束计算。

更多应用请在Ansys帮助文档中搜索Arclen。

使用弧长法必须关闭线搜索（WB默认关闭）、自动时间步，收敛准则不能基于位移收敛。

分析设置如下

计算结果如下

4 写在最后

实际工程中，很少有这么简单的屈曲计算，更多的是压力容器失稳问题、钢结构失稳问题等，本文只在抛砖引玉，由于图惜水平有限，文中难免纰漏百出，敬请指正批评。

图惜第一次看到这个屈曲F-u曲线时，感觉特别像心里鸡汤中的自信心——知识积累曲线，你看它们多像啊。

还真的是学习的必经之路，在学习过程中，盲目自信不可怕，妄自菲薄也不可悲，只要不放弃，穿越了狂妄之峰，踏过了绝望之谷，终究能找到真理之门。

虽然图惜断断续续写读书笔记，但是还处于不知道自己不知道的阶段，看到读者们千奇百怪的问题，才生也有涯而学也无涯，才知道自己是盲目自信。所以一些问题图惜真不是不回答，是真不知道，请大家多多见谅。

参考文献：

[1]《Ansys Workbench有限元分析实例详解》——周炬、苏金英

[2]《Ansys Workbench工程实例详解》——许京津

[3]《ANSYS Mechanical 结构非线性系列课程》——安世亚太苏睿

[4] ANSYS 2022帮助文件